支配方程式
モール・クーロン基準によると、垂直応力とせん断応力の式は次のとおりです。
$$sigma_{x} = sigma (1 + sin phi cdot cos 2theta ) – c cdot cot phi$$
(1a)
$$sigma_{y} = sigma (1 – sin phi cdot cos 2theta ) – c cdot cot phi$$
(1b)
$$tau_{xy} = tau_{yx} = sigma cdot sin phi cdot sin 2theta$$
(1C)
どこ σ ストレスの特徴であり、 対 まとまりがあり、 φ は内部摩擦角、 θ 最大主応力間の角度 σ1 そしてx軸。
固有応力の公式 σ 紹介されています：
$$シグマ = S + c cdot cot phi$$
(2)
どこ S は (frac{{sigma_{1} + sigma_{3} }}{2})、 と σ3 は最小主応力です。
非排水せん断強度用 対 > 0 および φ= 0、および式を代入します。 (2) 式に。 (1a)–(1c):
$$sigma_{x} = S + c cdot cos 2theta$$
(3a)
$$sigma_{y} = S – c cdot cos 2theta$$
(3b)
$$tau_{xy} = tau_{yx} = c cdot sin 2theta$$
(3c)
微分方程式は次のように与えられます。
$$frac{{partial sigma_{x} }}{partial x} + frac{{partial tau_{xy} }}{partial y} = f_{x}$$
(4a)
$$frac{{partial tau_{yx} }}{partial x} + frac{{partial sigma_{y} }}{partial y} = f_{y}$$
(4b)
どこ (f_{x} = gamma cdot k_{H})、(f_{y} = gamma cdot (1 – k_{V} ))、 γ 単位重量を表し、 kH と kⅤ 水平および垂直の震度を表します。 kⅤ=ξ · kH 、 どこ ξ は比例係数、 kH 静的条件下では 0 です。つまり、 (f_{x} = 0)、(f_{y} = ガンマ).
純粘土地震すべり線場理論の偏微分方程式は、式 (1) と (2) を代入することで得ることができます。 (3a)–(3c) を式に代入します。 (4a)、(4b):
$$frac{partial S}{{partial x}} – 2cleft( {sin 2theta frac{partial theta}{{partial x}} – cos 2theta frac {partial theta}{{partial y}}} right) = f_{x}$$
(5a)
$$frac{partial S}{{partial y}} + 2cleft( {sin 2theta frac{partial theta}{{partial y}} + cos 2theta frac {partial theta}{{partial x}}} right) = f_{y}$$
(5b)
スリップ ラインの 2 つのファミリ (α と β) の微分方程式は、特性の方法に従って取得できます (添付の付録 A を参照)。
$$alpha ;{text{家族}}:;;left{ begin{収集} frac{{{text{d}}y}}{{{text{d}} x}} = {text{tan}}left( {theta – frac{pi}{4}} right) hfill \ {text{d}}S – {2}c cdot {text{d}}theta = f_{x} cdot {text{d}}x + f_{y} cdot {text{d}}y hfill \ end{gathered} right .$$
(6a)
$$beta ;{text{家族}}:,;left{ begin{収集} frac{{{text{d}}y}}{{{text{d}} x}} = {text{tan}}left( {theta + frac{pi}{4}} right) hfill \ {text{d}}S + {2}c cdot {text{d}}theta = f_{x} cdot {text{d}}x + f_{y} cdot {text{d}}y hfill \ end{gathered} right .$$
(6b)
有限差分法 (FDM) を使用して、(6a) と (6b) を近似的に解きます。
$$frac{{y – y_{alpha}}}{{x – x_{alpha}}} = {text{tan}}left( {theta_{alpha} – frac{pi }{4}} right)$$
(7a)
$$(S – S_{alpha} {)} – {2}c cdot (theta – theta_{alpha}) = f_{x} (x – x_{alpha}) + f_{y} (y – y_{alpha } )$$
(7b)
$$frac{{y – y_{beta}}}{{x – x_{beta}}} = {text{tan}}left( {theta_{beta} + frac{pi }{4}} right)$$
(7c)
$$(S – S_{beta} {)} + {2}c cdot (theta – theta_{beta}) = f_{x} (x – x_{beta}) + f_{y} (y – y_{beta})$$
(7d)
どこMα ( バツα、 そこのα、 θα、 Sα） とMβ ( バツβ、 そこのβ、 θβ、 Sβ) は α と β家族は図のように。 1、(x, y) は座標値です。
特性の排水されていない方法: (もっている) スリップ ライン フィールドの図。 (b) コーシー境界の概略図; (対) 縮退リーマン境界の概略図。 (d) 混合境界の概略図。
ポイントM( バツ、 そこの、 θ 、 S ) は、式 (7a) ～ (7d) を使用して評価されます。たとえば、式 (8) および (9) は式 (7a) および (7c) によって取得でき、式 (10) および (11) は次のようになります。式 (7b) および (7d) によって得られます。
$$x = frac{{x_{alpha} cdot {text{tan}}left( {theta_{alpha} – frac{pi}{4}} right) – x_{ベータ } cdot {text{tan}}left( {theta_{beta} + frac{pi}{4}} right) – (y_{alpha} – y_{beta} )} {{{text{tan}}left( {theta_{alpha} – frac{pi}{4}} right) – {text{tan}}left( {theta_{ベータ } + frac{pi}{4}} right)}}$$
(8)
$$left{ begin{gathered} y = {(}x – x_{alpha } ) cdot {text{tan}}left( {theta_{alpha } – frac{pi } {4}} right) + y_{alpha} hfill \ y = {(}x – x_{beta} ) cdot {text{tan}}left( {theta_{beta} + frac{pi}{4}} right) + y_{beta} hfill \ end{gathered} right.$$
(9)
$$theta = frac{{S_{beta} – S_{alpha} + {2}c(theta_{beta} + theta_{alpha}) + f_{x} (x_{alpha) } – x_{beta} ) + f_{y} (y_{alpha} – y_{beta} )}}{4c}$$
(10)
$$S = frac{{S_{beta} + S_{alpha } }}{2} + c(theta_{beta} – theta_{alpha } ) + f_{x} left( { frac{{2x – x_{alpha} – x_{beta} }}{2}} right) + f_{y} left( {frac{{2y – y_{alpha} – y_{ベータ版 } }}{2}} right)$$
(11)
臨界斜面の等高線に沿って作用する法線応力とせん断応力はゼロになります (つまり、応力のない境界)。 応力がゼロの境界条件では、臨界勾配等高線の微分方程式は次のようになります。 (frac{dy}{{dx}} = tan theta)17、 と (S_{{{text{ij}}}} = c) に基づいて取得できます。 σ3 0であり、σ12であること 対臨界勾配等高線で (図 2 に示すように)。 座標点Mij( バツij、 そこのij、 θij、 Sij) によって評価された地震臨界斜面等高線の (frac{dy}{{dx}} = tan theta) と併せて βファミリ スリップ ライン:
$$x_{ij} = frac{{x_{b} cdot {text{tan}}theta_{b} – x^{prime}_{beta} cdot {text{tan}} left( {theta^{prime}_{beta} + frac{pi}{4}} right) – left( {y_{b} – y^{prime}_{beta } } right)}}{{{text{tan}}theta_{b} – {text{tan}}left( {theta^{prime}_{beta} + frac{円周率 {4}} right)}}$$
(12)
$$left{ begin{gathered} y_{ij} = {(}x – x_{b} ) cdot {text{tan}}theta_{b} + y_{b} hfill \ y_ {ij} = left( {x – x^{prime }_{beta } } right) cdot {text{tan}}left( {theta^{prime }_{beta } + frac{pi}{4}} right) + y^{prime}_{beta} hfill \ end{gathered} right.$$
(13)
$$theta_{ij} = frac{{S^{prime}_{beta} – S_{b} + {2}cleft( {theta^{prime}_{beta} + theta_{b} } right) + f_{x} left( {x_{b} – x^{prime}_{beta } } right) + f_{y} left( {y_{b} } – y^{prime}_{beta}}right)}}{4c}$$
(14)
$$S_{{{text{ij}}}} = c$$
(15)
どこMb( バツb、 そこのb、 θb、 Sb） とM´β( バツ´β、 そこの´β、 θ ´β、 S ´β) は地震臨界斜面等高線の既知の点であり、 β ファミリースリップライン。
境界値問題
境界値問題には、図のように 3 つの問題があります。 1b–d。 静的および地震条件下での純粋な粘性斜面の境界値問題について簡単に説明します。
耐震境界
-
1.
OAB コーシー境界。
既知のポイント Mα と Mβ 図に示すように、コーシー境界OAで。 1b、横座標は (x = frac{H}{tan alpha } + Delta x cdot i)、 どこ H は斜面の高さ、αは傾斜角 Δ バツ は計算ステップ、 私= 0 ～ いいえ1 、いいえ1 はステップ番号です [e.g., N1 = 3 in Fig. 1b]、縦軸は H です。
図に示すように、 2、 (O_{1} Fsin (2psi ) = tau_{0})、 (O_{1} F = c)(すなわち、排水されていない土のモール応力円の半径は凝集力に等しい)、 (2psi = 2theta_{{text{I}}} – pi)、 どこ (tau_{0} = P_{0} cdot k_{H})、 P0は斜面上面の荷重、交角(θ私 ） の間に σ1x 軸は次のように導出できます。 (2theta_{{text{I}}} – pi = arcsin left( {frac{{tau_{0} }}{c}} right)):
$$theta_{{text{I}}} = frac{pi}{2} + frac{1}{2}arcsin left( {frac{{P_{0} cdot k_{ H} }}{c}} right)$$
(16)
(O_{2} E = O_{2} O_{1} sin delta = O_{1} Fsin (2psi – delta )) は図にも示されています。 2、ここで (tan (delta ) = frac{{tau_{0} }}{{sigma_{0} }})、 (sigma_{0} = P_{0} cdot (1 – k_{V} ))、 と (delta = arctan left( {frac{{k_{H} }}{{1 – k_{V} }}} right)). したがって、特性応力 (S私= 〇1〇2 ） の 〇A は次のように導出されます。
$$S_{{text{I}}} = frac{{c cdot sin (2theta_{{text{I}}} – pi – delta )}}{sin delta } $$
(17)
-
2.
OCD 混合境界。
図に示すように、 1d、特性応力 (Sb) 既知のポイント Mb斜面の頂上で：
$$S_{rm {b}} = S_{{{text{III}}}} = c$$
(18)
の特徴によると、 βファミリ スリップ ライン積分方程式 (つまり、(S + 2ctheta = const.))、交差角 ( θⅢ ） 取得できる：
$$theta_{rm {b}} = theta_{{{text{III}}}} = (S_{{text{I}}} + 2ctheta_{{text{I}}} – c)/2$$
(19)
-
3.
OBC 縮退リーマン境界。
縮退リーマン境界の既知の点 O は、図 1 に示すように、斜面の頂点です。 1c であり、特性応力は次のとおりです。
$$S_{{{text{II}}}} = S_{{text{I}}} + 2c(theta_{{text{I}}} – theta_{{{text{II} }}} )$$
(20)
どこ (theta_{{{text{II}}}} = theta_{{text{I}}} + k cdot frac{Delta theta }{{N_{2} }})、k= 0 ～いいえ2、 (theta_{rm {b}} = theta_{{{text{III}}}} = theta_{{text{I}}})、いいえ2リーマン境界の点分割です。
静的境界
静的条件下での境界値問題 (つまり、kH=kⅤ= 0) 趙によって与えられた18:
(1) (theta_{{text{I}}} = pi /2) と (S_{{text{I}}} = P_{0} – c) OAB コーシー境界の場合。 (2)(theta_{rm {b}} = theta_{{{text{III}}}} = frac{{P_{0} }}{2c} + frac{pi }{2} – 1) と (S_{rm {b}} = S_{{{text{III}}}} = c) OCD 混合境界の場合。 (3) (theta_{{{text{II}}}} = theta_{{text{I}}} + k cdot frac{Delta theta }{{N_{2} }}) と (S_{{{text{II}}}} = P_{0} – c(2theta_{{{text{II}}}} – pi + 1)) OBC 縮退リーマン境界の場合、ここで (Delta theta = theta_{{{text{III}}}} – theta_{{text{I}}} = frac{{P_{0} }}{2c} – 1).